中心極限定理とは、大きな数の試行になればなるほど、 N(μ, σ2) の正規分布に近づくという定理のことである。
平均 μ で、 標準偏差 σ のある分布に従うならば、 大きさ n の無作為標本に基づく標本平均は、 n が無限に大きくなるとき、平均 μ で 標準偏差 σ の正規分布 N(μ,σ2)に近づく。
とくに、 Stirling の公式と中心極限定理を用いて、二項定理 B(n, p) が正規分布 N(0,1)に近似される。ただし、n 回の試行、確率が p, 期待値 μ, 標準偏差 σ とする。
nCk pkqn-k ∼ 1/√(2 π p q) exp(-(k-np)2/(2 n p q))
平均 μ と分散 σ2 で決まる正規分布 N(μ,σ2) では、データのばらつきが次のように表される。