大勢のなかから、何人かが合格する方法。 例えばオーディションで 100 名から 3 人に絞る方法。
5 人でホッケーをした。3 人と 2 人に別れる方法は何通りか。
m 個のものを順序を考えずに n (n < m) 個と m-n 個に分ける方法を組み合わせと呼び、
m C n = m! / (n!× (m-n)!)
で表す。
集合: 要素 (元) の集まりのこと。
2 つの集合 A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, b, c} がある。 このように B の要素が全て A の要素である場合、B は A の部分集合であるという。
論理演算は、Venn 図により図示化することができる。
計算機の論理回路は、{0(真), 1(偽)} の信号による論理演算を行う。 2 つの信号 A = {0, 1}, B = {0, 1} の論理演算について調べる。 真理値表と Venn 図による表現をまとめる。
そうであるか、そうでないかを、1 または 0 で答える。
| A | B |
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 1 |
A, B の論理演算の否定について、次のような法則が成り立つ。
集合の演算についてまとめる。
論理積は「かつ」であり、重なっているところを 1 とする。
| A | B | A AND B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
A かける B を実行し(積の演算)、得られる答え。
論理和は「または」であり、1 が重なっていないところを 0 とする。
| A | B | A OR B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
A たす B を実行し(和の演算)、0 でなければ全て 1 と考え、得られる答え。
排他的論理和は「どちらか」であり、1 つだけ要素が 1 であるところを １ とする。
| A | B | A OR B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
A AND B でない部分(0 ならば 1, 1 ならば 0) が該当する。
| A | B | A AND B | A NAND B |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
A AND B で得られるものでない方(0 ならば 1, 1 ならば 0)を書く。
A OR B でない部分(0 ならば 1, 1 ならば 0) が該当する。
| A | B | A OR B | A NOR B |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
A OR B で得られるものでない方(0 ならば 1, 1 ならば 0)を書く。
集合 U について、例を挙げて整理してみよう。補集合はここでは c で書く。
U = {赤い, 黄色い, 帽子, りんご}, A = {赤い}, B = {帽子} について
U = {0,1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {0,2,3} について
事象 P, Q がある。「P ならば Q」と言うとき、これを命題という。 命題が成り立つとき、この命題を真であるという。 命題が成り立たないとき、この命題を偽であるという。
「P ならば Q」 が成り立つとき、P は Q の必要条件である。
「Q ならば P」 が成り立つとき、命題の逆が成り立つという。 このとき、Q は P の十分条件であるという。
「P ならば Q」かつ「Q ならば P」が成り立つとき、 P は Q の必要十分条件であるという。