数学の考え方 第 3 回 (数列) 「和の記号」 講義ノート目次

∑_k=1ⁿa_n = a₁ + a₂ + ... + a_n

よく知られているものは

∑_k=1ⁿ n = n(n+1)/2

証明

1 + 2 + ... + n = x
n + n - 1 + ... + 1 = x

n+1 + n+1 + ... + n+1 = n(n+1) 

2 x = n (n+1)

x = n(n+1)/2

∑_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6

などもよく使う。

証明

∑k=1n (k+1)3 - ∑k=1n k3
= ∑k=1n (k2 + 2 k + 1) -∑k=1n k2

(右辺) = ∑k=2n+1 k3 - ∑k=1n k3
= (n+1)3 - 1 
= n3 + 3n2 + 3 n 

(左辺) = 3 ∑k=1n k2+ 3 ∑k=1n k + ∑k=1n 1
= 3 ∑k=1n k2 + 3 / 2 * n(n+1) + n

3 ∑_k=1ⁿ k² について解くことにより、 答えを得ることができる。

∑_k=1ⁿ n = n(n+1)/2 も同じ方法で導いてみよう。