t検定

「検定」の手順

異なるサンプルを取り平均や標準偏差などを計算するとき， それぞれが同じ母集団から取ったのであればほぼ同じ 値となることが期待される。平均値が多少ずれた場合でも， そのずれ幅が仮定される分布のバラツキ(標準偏差)と比べて小さければ， そのずれは多いにありうることである。しかし，ずれ幅が 標準偏差の2倍，3倍，…と大きなときは，そうなる確率は著しく低く， 「そもそも[同じ母集団]という最初の仮定が違っていたのでは?」 と結論づける方が自然である。

ある複数のサンプルどうしの，平均が互いに違うことを ある程度の確からしさで結論づけたいとき，上記の流れに基づいて 以下の手順で論理展開する。

1. 2つの母集団が同じで，同じ平均同じ標準偏差を持っていると 仮定する。
2. 平均値の違いを標準偏差の大きさと比べ，
• 十分に起こり得そうなら最初の仮定を疑わない。
• 起こり得そうになければ最初の仮定を棄却する。

たとえば，現行の薬品に比べて新薬の効果が高いことを示したい場合でも， 先に「同じ平均であること，つまり効果に差がない」という仮説を立て， それが起こりそうな確率を求めてその仮説を棄却するしないかを決める。

統計的に何かを調べることを検定といい， 上記のようにいったん排除したい仮説を立ててからその確からしさを 吟味することを仮説検定という。最初に立てる， 言わば都合の悪い結論で，なしにして欲しい(ことの多い)仮説を 帰無仮説 という。これに対応して，逆の結論へと 導く仮説を対立仮説という。

t検定

何かの平均を求めて全体の傾向を見る調査はしばしば行なわれる。 あるサンプルの平均値が特定の値を取りうるかの検定はt検定を用いる。

Rを用いて，平均値の大小比較のt検定を行なう場合は以下の手順による。

1. 2組のサンプルの各要素が1対1対応するものどうしか吟味する

2. 対応するものどうしなら 「対応のある2組の平均値の差の検定」を，ないものどうしなら 「対応のない2組の平均値の差の検定」を行なう。

対応のある2組の差の検定は，

t.test(ベクトル1, ベクトル2, paired=T)

で，対応のない2組の平均値の差の検定は

t.test(ベクトル1, ベクトル2, paired=F)

で行なう。

対応のある2組の平均値の差の検定

実験などで，同じ被検者に対して何か1つだけ条件を変えて同じ 作業をやらせたような場合，あるいは同一の機械のあるひとつの部品だけを 変えて同じことの測定を行なったような場合は，各測定値に対応が「ある」。

このような場合，同じ大きさの標本が2つあることになる。 Rでは，t.test() 関数に標本を含む2つのベクトルと paired=T 引数を与えることで検定できる。

例題

8人の被験者が公益軒と看々ラーメンの中華蕎麦を 試食し，以下のような得点をつけた。

2店の中華蕎麦の評価に有意な差が認められると言ってよいか。

まず，店舗ごとの評価をベクトル化して変数に代入しておく。

koeki.men <- scan()
81 64 67 68 65 65 74 69

kankan.men <- scan()
71 70 78 77 85 66 94 80

この検定では以下の仮説を置く。

• 帰無仮説: 2店の中華蕎麦の評価には有意な差がない

• 対立仮説: 2店の中華蕎麦の評価には有意な差がないとは言えない

これを有意水準5%(0.05)で検定する。

t.test() 関数による検定

先に述べたとおり対応のある2組の平均の差の検定は， t.test() に paired=T を与えればよい。

t.test(koeki.men, kankan.men, paired=T)

  Paired t-test

data:  koeki.men and kankan.men 
t = -2.4357, df = 7, p-value = 0.04504
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -16.7520208  -0.2479792
sample estimates:
mean of the differences 
                 -8.5

自由度7(df=7)のt値が-2.4357で，このときのp値は約0.045，つまり4.5%であり， ここまで読んで有意水準5%では棄却されることが分かる。 95%信頼区間が -16.75 〜 -0.25 であり， これは2点の得点の差の値が95%の確率でこの区間に入るということで， この場合0が含まれない区間であるため「差が0」になることが，5%よりも 低い確率で起こることを意味している。

diff <- koeki.men-kankan.men
diff
[1]  -5  -5  -5  -5   5 -10  -5  -5

n <- length(diff)
(mean(diff) - 0)/sd(diff)*sqrt(n)
[1] -2.965615

2*pt(-2.965615, 7)
[1] 0.02093757

対応のない2組の平均値の差の検定

公益軒と看々ラーメンのカレーラーメンの味について， 無作為抽出して採点したもらった 8人×2組のデータについて考える。

2組のデータに1〜8の番号がついているが，これらは同じ番号でも 互いに全く関連がないことに注意する。

帰無仮説，対立仮説を以下のように定める。

• 帰無仮説: 2店のカレーラーメンの評価には有意な差がない
• 対立仮説: 2店のカレーラーメンの評価には有意な差がないとは言えない

対応のない2組の平均値の差の検定については， t.test() 関数で求める方法を示すに留める。

t.test() 関数による検定(独立2群)

以下の手順で検定を行なう。

t.test(curry[,1], curry[,2], paired=F)
        Welch Two Sample t-test

data:  curry[, 1] and curry[, 2] 
t = -2.9064, df = 12.67, p-value = 0.01254
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -15.707688  -2.292312 
sample estimates:
mean of x mean of y 
    68.25     77.25 

練習問題

ダイエット食品の問題

ある番組でこのような結果提示ががあった。

10人の被験者を5人ずつの2グループA，Bに分けてダイエット実験をした。 グループAの人にはダイエット薬と称してこんにゃく粉末を， グループBの人には「んめちゃダイエット」を，いずれも10日間摂取させ 体重の増減を調べた。10人の実験前後の体重減少(kg)は以下のとおりであった。

こんにゃく粉末	んめちゃダイエット
1.6	3.3
2.1	4.9
2.5	2.9
-2.4	2.2
3.1	-0.1
平均
1.38	2.64

この結果を得て，司会者は「最も効果のあった人は5kg近く， それに平均でなんと2倍ものダイエット効果があります!」と結論づけた。

この商品の宣伝文句に偽りなし，といってよいだろうか。

1. 帰無仮説を立てよ。

2. 対立仮説を立てよ。

3. Rを用いて検定せよ。

nme <- read.table("clipboard")
# x=「こんにゃく」，y=「んめちゃ…」とすると，
t.test(nme[,1], nme[,2], paired=F)

  Welch Two Sample t-test

data:  nme[, 1] and nme[, 2] 
t = -0.9903, df = 7.755, p-value = 0.3519
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -4.210376  1.690376 
sample estimates:
mean of x mean of y 
     1.38      2.64