順列 Permutation

階乗 を使って書こう。 n 個の異なるものから m (n ≥ m) 個を選んで並べる数。 n P m = n! / (n-m)! と書く。

大勢のなかから、名前を決めている役割に選出する場合。 例えばクラスで議長と副議長を選ぶ方法。

ひーちゃん、ふうちゃん、みーちゃん、ようちゃんの 4 人でくじ引きをした。 4 枚のくじには 1等, 2等, はずれ(2 枚)がある。 誰が 1 等と 2 等を引き当てるか予想するとき、 何通りあるか。

ある事象が m 個の候補から 1 つ選ばれるとする。 それが n (n < m) 回発生する。事象の順序が区別される場合、 順列 Permutation と呼ばれ、

m Pn = m!/(m-n)!

で表される。

重複が許される順列は重複順列と呼ばれ、k 個ある可能性のうち、 その事象が i 回発生したら、

k Πi = (k)i

じゃんけんなどを数える場合に使われる。

ものの数え方

m C n を使うときには、 条件があることがある。

と覚えておくとよい。

有効数字

有効数字: 近似値のうち正しいと考えられるある限定した数字（意味のある数字）のこと。

5432 の近似値として 5400 をとることにした。

5400
意味のある数字位取りを示す数字

位取りを示す数字なので、 5.4 × 102 と指数を使って書いてもよい。 有効数字は "5" と "4" のみで有効数字は 2 桁。

0.3 という数値が与えられた。

03
位取りを示す数字意味のある数字

有効数字は "3" のみで有効数字は 1 桁。 小数を表すためのゼロは意味のない数字。

ある本の重さを測ったら 500 g であった。 このとき、次の問いに答えなさい。

  1. 10 g の位まで測定したときの有効数字をいいなさい。また有効数字は何桁か。
  2. 1 g の位まで測定したときの有効数字をいいなさい。また有効数字は何桁か。
  1. 10 g が単位なので、1の位の数字には意味がない。 したがって有効数字は 100, 10 の位の 5 と 0 で2 桁。
  2. 1 g が単位なので、1 の位の数字も有効数字。 したがって有効数字は 5 と 0 と 0 で 3 桁

近似値の表し方

有効数字をあらわにに記すために、 a × 10n (n は整数)

と表すことがある。

24 = 2.4 × 10 有効数字は 2 桁。整数部分を 1 桁で表す
0.24 = 2.4 × 10-1 有効数字は 2 桁。整数部分を 1 桁で表す
314 = 3.14 × 102 有効数字は 3 桁。整数部分を 1 桁で表す
0.0314 = 2.4 × 10-2 有効数字は 3 桁。整数部分を 1 桁で表す

ある本の重さを測ったら 800 g であった。 このとき次の問に答えよ。

  1. 有効数字が 2 桁のとき、整数部分が 1 桁の小数と 10 のべきの形で表せ。
  2. 有効数字が 3 桁のとき、整数部分が 1 桁の小数と 10 のべきの形で表せ。
  1. 有効数字が 2 桁のとき、8 と 0 だけを使って、8.0 × 102
  2. 有効数字が 3 桁のとき、8 と 0 と 0 を使って、8.00 × 102

次の測定値について、 整数部分が 1 桁の小数と 10 のべきの形で 表せ。

  1. 米粒 1 個の重さを測定したら 0.210 g であった。(有効数字 3 桁)
  2. マツ花粉の直径を測定したら 0.0052 cm であった。(有効数字 2 桁)
  1. 有効数字 3 桁は 2 1 0 であるので、2.10 × 10-2
  2. 有効数字 2 桁は 5 2 であるので、5.2 × 10-3

だいたいの大きさ

実験などではだいたいどの桁くらいなのか、を知ることのほうが、 正確な数値より必要なことが多い。

「100003 人のうち、431 人の解答を得た。」は、 「だいたい 4% の解答を得た。」の方が分かりやすい。
10 のべきで、母集団と小さな値との差を調べて、 どちらの話が重大かかどうか知ろうとすることがある。
60 [kg] = 6.0 × 10 [kg] の人が 1 割太った、は 6 [kg]。 66 [kg] となる場合。 だから、べきで調べると、1 - 0 = 1 桁異なる。 1% 太った、は 600[g] = 0.6[kg] = 6.0 × 10-1[kg] 60.6 [kg] となる場合。 だから、べきで調べると、1 - (-1) = 2 桁異なる。 並んでいる数値が遠いので、後者の場合はそれほど重大ではない。

指数関数

対数関数

自然対数

ネイピア数(オイラー数)e を底とする 対数のこと。