逆関数

逆関数とは、関数 y = f(x) を x について解き直し、 y と x を入れ替えたものである。

グラフとしては、y = x について対称なグラフとなる。

対数関数

指数関数の逆関数を考えよう。 逆関数とは、y = x のグラフについて、対称な関数のことである。

y = a^x の逆関数は、y = log_ax と呼んだ。 上の場合では a > 1 を仮定してある。

指数の底の a を使って、対数関数は a を底とする x の対数と呼ぶ。 x はこの対数の真数 (x > 0)と呼ぶ。

対数の性質は次のとおり。(M, N > 0 かつ k は任意の実数)

• log _a (M × N) = log _a M + log _a N
• log _a (M / N) = log _a M - log _a N
• log _a M^k = k log _a M

ある数 x について、e を底とする対数を、自然対数と呼ぶ。

log _e x ≡ ln x

10 を底とする対数を常用対数と呼び、断わりがなく

log ₁₀ x ≡ log 10

と底を書かずに書く場合がよくあるのと同じで、ln x と書くことがある。 n は自然なという意味(natural) の n からとっている。

自然対数の微分は、

d/dx (e^x) = e^x

となる。また、e を指数関数の底と取った場合、e^x を exp(x) と表す表記もある。

指数関数の微分(対数微分)

y = a^x = exp[ln a^x] = exp[ x ln a]

とかける。

両辺の log を取ると、どちらも x ln a と変形できるため。

y を微分すると、

d/dx (y) = x ln a exp[x ln a] = x ln a a^x

とかける。微分したあともとの定義を使った。

y = e^ax

を微分すると

dy/dx = a e^ax

となることを使っている。