指数関数

利率を考える。

もとの関数にある割合でかかるような関数を指数関数と呼ぶ。

オイラー数を求めよう

102 教室から login し、Ctrl-2 を押して、

xcalc &

と入力し、関数電卓を得よう。

実際に表を作り、徐々に精度を高めながら、e の値を得ることを確かめておこう。

四則演算の順序を考え、積を先に計算しておくとよい。 1/n を計算したあと、1 を加える。 そのあと y^x ボタンを押して、n を押すと、 指数が計算される。

logout は、Ctrl-3 を押し、

exit

と入力。

計算機で e+6 と表示されるときは、10⁶ = 1000000 の意味である。

指数関数

y = a^x

a: 定数

に従う。

ネイピア数 e について

下のような計算を行なうと、ある数 e に近づく。

(1 + 1/1)¹, (1 + 1/2)², (1 + 1/n)ⁿ + ...

lim _{k → ∞} (1 + 1/k)^k ≡ e = 2.71828 ...

このように、ある関数が、無限大の極限である数に近づくことを収束するという。 Euler が名付けたので Euler 数、 あるいは初めて研究の付録として、 この数に関する一覧表を著した著者の名前をとって Napier 数とも呼ばれる。

指数関数の肩が複雑なとき

y = e^x という指数関数を、sin(x) や cos(x) などのように、 y = exp(x) と表すこともある。

合成関数の微分

y = f(x) g(x)

の微分について

d/dx {f g} = f ' g + f g'

y = z(s(x))

の微分について

dy / dx = {d y / d z} {d z / dy}

指数関数の微分

y ' = e^x

e^x = ∑_k=0^∞ (f^(k)(a)/k!) x^k