Laplace の定理: B(n,p) は、試行回数 n が十分大きければ、 N(μ, σ) に近づく。
二項分布 B(n, p) では、平均値 μ = np, &sigma^2; = np(1-p) である。
確率分布は Stirling の公式 を用いて
Pk = nCk pk (1-p)n-k = 1 / √(2 π n × k / n (1 - k/n)) × (n/k × p)k (n/(n-k) × (1-p))n - k
ここで、δ = k - np とおくと、
n/k × p = (1 + δ/np) -1
n/(n-k) × (1-p) = (1 - δ/n(1-p)) -1
と書き換えられる。よって、定数を除いた関数 f = (n/k × p)k (n/(n-k) × (1-p))n - k の対数を取ると、
ln f = -(δ + np) ln (1 + δ/np) - (δ + n(1-p)) ln (1 + δ/n(1-p))
ここで、n を十分大きくすると、p は 0 < p < 1 なる定数、 δ も適当な定数と見なすとすると(ここはきちんとした議論が本当は必要)
δ / np → 0, δ / n(1-p) → 0,
これらを 0 に十分近い数と考えて、ln f を展開する。δ3 次まで残してみる。
ln x ∼ 1/x - 1 / (2 x2) + 1 / (3 x3) + ...
を用いて、
ln f ∼ -(np + δ) (δ/np
- δ2/ (2(np)2)
+ δ3/ (3 (np)3)
-(n(1-p) - δ)(- δ/(n(1-p))
- δ2/(2(np)2)
+ δ3/ (3 (np)3)
= - δ2 / (2 n p)
+ δ3 / (6 (n p)2)
- δ2 / (2 n (1-p))
- δ3 / (6 (n (1-p)2)
= - δ2 / (2 n p(1-p))
- δ3 / (6 (n p(1-p))2)
ここで、n が 1 より大きいため 1/n > 1 /n 2 が常に成り立つこ とを利用して、δ2 次の項の寄与の方が大きいため、結局
f ∼ exp(-(k-np)2/(2 n p (1-p)))
を得る。 p = k / n であること、μ = np, σ = √(n p (1-p)) であることを 思いだすと、
P ∼ 1 / √(2 π σ) exp(-(k-μ)2/(2 σ2))