下のような計算を行なうと、ある数 e に近づく。
(1 + 1/1)1, (1 + 1/2)2, (1 + 1/n)n + ...
lim k → ∞ (1 + 1/k)k ≡ e = 2.71828 ...
このように、ある関数が、無限大の極限である数に近づくことを収束するという。 Euler が名付けたので Euler 数、 あるいは初めて研究の付録として、 この数に関する一覧表を著した著者の名前をとって Naipier 数とも呼ばれる。
ある数 x について、e を底とする対数を、自然対数と呼ぶ。
log e x ≡ ln x
10 を底とする対数を常用対数と呼び、断わりがなく
log 10 x ≡ log 10
と底を書かずに書く場合がよくあるのと同じで、ln x と書くことがある。 n は自然なという意味(natural) の n からとっている。
自然対数の微分は、
d/dx (ex) = ex
となる。また、e を指数関数の底と取った場合、ex を exp(x) と表す表記もある。