統計学の考え方第 3 回「組み合わせの数」組み合わせ Combination (講義ノート)

大勢のなかから、何人かが合格する方法。例えばオーディションで 100 名から 3 人に絞る方法。

5 人でホッケーをした。3 人と 2 人に別れる方法は何通りか。

まず一列に並んでもらう。これは 5! 通り。前の 3 人の並び方は 3! 通り。後ろの 2 人の並び方も 2! 通り。よって前後の並び方を気にしないことを考慮にいれて 5!/(3!× 2!) = 10 通り。
とりあえず 3 人を固定する。このメンバーの並びかたの方法は 3! 通り。そもそも 5 人から 3 人を選んできた方法があるが、これを X とする。したがって、5 人の中で 3 人が一列に並ぶ方法は 3! × X 通りある。また、 5 人から 3 人が一列に並ぶ方法は順列を使うと ₅ P_{(5-3)} = 5!/2 通りである。これら 2 つは同じことを意味するので、等号で表すと 3! × X = 5!/2! よって X = 5! / (2!× !) = 10 通り。

m 個のものを順序を考えずに n (n < m) 個と m-n 個に分ける方法を組み合わせと呼び、

統計学の考え方 第3回 組み合わせの数 「組み合わせ Combination」 (講義ノート)